Построение конических поверхностей в MATLAB

Как известно из курса геометрии коническую поверхность можно определить, задав ее вершину и направляющую (рис. 1). Как один из вариантов описания конической поверхности в аналитическом виде можно предложить такой: , где - направляющая, - вершина. Способов задания конической поверхности множество, но указанный выше способ параметризации подходит для любого.

Рассмотрим еще одно аналитическое описание конической поверхности. На этот раз правильного конуса с углом раствора и с вершиной в начале координат (рис. 2): .

Такой конус проще всего описать и визуализировать в MATLAB.

x=-10:0.2:10; y=-10:0.2:10; [X,Y]=meshgrid(x,y);

Z=sqrt(X.^2+Y.^2)/tan(pi/6); surfl(X,Y,Z)

Выводится коническая поверхность как явная функция аппликаты от абциссы и ординаты с прямоугольной областью определения.

Для того, чтобы получить коническую поверхность в виде семейства окружностей (а мы со школы привыкли понимать конус именно так), необходимо определить ее в цилиндрической системе координат: .

t=0:2*pi/20:2*pi; z=0:0.2:10; [T,Z]=meshgrid(t,z);

X=Z.*cos(T)*tan(pi/6); Y=Z.*sin(T)*tan(pi/6); surfl(X,Y,Z)

Указанные выше способы аналитического описания поверхностей подходят и для случая, когда в основании лежит эллипс. Можно также выполнять и операции переноса поверхности и поворота (аффинные преобразования). Следует отметить еще раз, что это очень частные случаи конических поверхностей.

Вернемся к более общему представлению конической поверхности: . В качестве направляющей рассмотрим кривую , .

t=0:2*pi/20:2*pi; l=0:0.1:10; [T,L]=meshgrid(t,l);

x=cos(T); y=sin(T); z=T; C=[0 0 10]; cx=zeros(size(T)); cx(:,:)=C(1); cy=zeros(size(T)); cy(:,:)=C(2); cz=zeros(size(T)); cz(:,:)=C(3);

X=cx+L.*(x-cx)./sqrt((x-cx).^2+(y-cy).^2+(z-cz).^2);

surfl(X,Y,Z)

 

Как вариант можно предложить и такое представление , где . В этом случае коническая поверхность будет построена от вершины до направляющей.